TF-IDF与余弦相似性的应用

自动提取关键词

有一篇很长的文章，要用计算机提取它的关键词，完全不加以人工干预，如何才能正确的做到？

一个容易想到的思路，就是找到出现次数最多的词。如果某个词很重要，它应该在这篇文章中多次出现，我们进行"词频"(Term Frequency,缩写TF)统计

但是，统计出现次数最多的词却是---"的"、"是"、"在"---这一类最常用的词，它们叫做"停用词"(stop words)，表示对找到结果毫无帮助，必须过滤掉的词

假设我们把它们都过滤掉了，只考虑剩下的有实际意义的词，这样又会遇到另一个问题，可能会发现"中国"、"蜜蜂"、"养殖"这三个词的出现次数一样多。

这是不是意味着，作为关键词，它们的重要性是一样的？

显然不是这样！因为"中国"是很常见的词，相对而言，"蜜蜂"和"养殖"不那么常见。

如果这三个词在一篇文章的出现次数一样多

有理由认为，"蜜蜂"和"养殖"的重要程度要大于"中国"

也就是说，在关键词排序上面，"蜜蜂"和"养殖"应该排在"中国"的前面

我们需要一个重要性调整系数，衡量一个词是不是常见词

如果某个词比较少见，但是它在这篇文章中多次出现，那么它很可能就反映了这篇文章的特性，正是我们所需要的关键词。

用统计学语言表达，就是在词频的基础上，要对每个词分配一个"重要性"权重

最常见的词（"的"、"是"、"在"）给予最小的权重

较常见的词（"中国"）给予较小的权重

较少见的词（"蜜蜂"、"养殖"）给予较大的权重

这个权重叫做"逆文档频率"（Inverse Document Frequency，缩写为IDF）

它的大小与一个词的常见程度成反比

将"词频"（TF）和"逆文档频率"（IDF）这两个值相乘，就得到了一个词的TF-IDF值

某个词对文章的重要性越高，它的TF-IDF值就越大

所以，排在最前面的几个词，就是这篇文章的关键词。

1.计算词频

词频(TF) = 某个词在文章中的出现次数

考虑到文章有长短之分，为了便于不同文章的比较，进行"词频"标准化。

词频(TF) = 某个词在文章中的出现次数/文章总词数

or

词频(TF) = 某个词在文章中的出现次数/该文出现次数最多的词的出现次数

2.计算逆文档频率

需要一个语料库（corpus），用来模拟语言的使用环境。

逆文档频率(IDF) = log(语料库的文档总数/包含该词的文档数+1)

如果一个词越常见，那么分母就越大，逆文档频率就越小越接近0
分母之所以要加1，是为了避免分母为0（即所有文档都不包含该词）
log表示对得到的值取对数

3.计算IF-IDF

IF-IDF = 词频(TF) * 逆文档频率(IDF)

TF-IDF与一个词在文档中的出现次数成正比，与该词在整个语言中的出现次数成反比

所以，自动提取关键词的算法就很清楚了，就是计算出文档的每个词的TF-IDF值，然后按降序排列，取排在最前面的几个词

还是以《中国的蜜蜂养殖》为例，假定该文长度为1000个词，"中国"、"蜜蜂"、"养殖"各出现20次

则这三个词的"词频"（TF）都为0.02。

搜索Google发现，包含"的"字的网页共有250亿张，假定这就是中文网页总数。

包含"中国"的网页共有62.3亿张，包含"蜜蜂"的网页为0.484亿张，包含"养殖"的网页为0.973亿张。

则它们的逆文档频率（IDF）和TF-IDF如下：

从上表可见，"蜜蜂"的TF-IDF值最高，"养殖"其次，"中国"最低

（如果还计算"的"字的TF-IDF，那将是一个极其接近0的值）

所以，如果只选择一个词，"蜜蜂"就是这篇文章的关键词。

除了自动提取关键词，TF-IDF算法还可以用于许多别的地方。

比如，信息检索时，对于每个文档，都可以分别计算一组搜索词（"中国"、"蜜蜂"、"养殖"）的TF-IDF，将它们相加，就可以得到整个文档的TF-IDF。这个值最高的文档就是与搜索词最相关的文档。

TF-IDF算法的

优点是简单快速，结果比较符合实际情况。

缺点是单纯以"词频"衡量一个词的重要性，不够全面，有时重要的词可能出现次数并不多

而且，这种算法无法体现词的位置信息，出现位置靠前的词与出现位置靠后的词，都被视为重要性相同，这是不正确的。（一种解决方法是，对全文的第一段和每一段的第一句话，给予较大的权重。）

找出相似文章

什么是"余弦相似性"

为了简单起见，我们先从句子着手。

句子A：我喜欢看电视，不喜欢看电影
　
句子B：我不喜欢看电视，也不喜欢看电影

怎样才能计算上面两句话的相似程度？

基本思路是：如果这两句话的用词越相似，它们的内容就应该越相似

因此，可以从词频入手，计算它们的相似程度

1.分词

句子A：我/喜欢/看/电视，不/喜欢/看/电影

句子B：我/不/喜欢/看/电视，也/不/喜欢/看/电影

2.列出所有的词

我，喜欢，看，电视，电影，不，也。

3.计算词频

句子A：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 1，也 0

句子B：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 2，也 1

4.写出词频向量

句子A：[1, 2, 2, 1, 1, 1, 0]

句子B：[1, 2, 2, 1, 1, 2, 1]

如何计算这两个向量的相似程度

我们可以把它们想象成空间中的两条线段，都是从原点（[0, 0, ...]）出发，指向不同的方向

两条线段之间形成一个夹角，如果夹角为0度，意味着方向相同、线段重合

如果夹角为90度，意味着形成直角，方向完全不相似

如果夹角为180度，意味着方向正好相反

因此，我们可以通过夹角的大小，来判断向量的相似程度

夹角越小，就代表越相似

上图的a和b是两个向量，我们要计算它们的夹角θ。余弦定理告诉我们，可以用下面的公式求得：

假定a向量是[x1, y1]，b向量是[x2, y2]，那么可以将余弦定理改写成下面的形式

数学家已经证明，余弦的这种计算方法对n维向量也成立

假定A和B是两个n维向量，A是 [A1, A2, ..., An] ，B是 [B1, B2, ..., Bn]

则A与B的夹角θ的余弦等于

使用这个公式，我们就可以得到，句子A与句子B的夹角的余弦。

余弦值越接近1，就表明夹角越接近0度，也就是两个向量越相似，这就叫"余弦相似性"

所以，上面的句子A和句子B是很相似的，事实上它们的夹角大约为20.3度。

由此，我们就得到了"找出相似文章"的一种算法：

（1）使用TF-IDF算法，找出两篇文章的关键词；
（2）每篇文章各取出若干个关键词（比如20个），合并成一个集合，计算每篇文章对于这个集合中的词的词频（为了避免文章长度的差异，可以使用相对词频）；
（3）生成两篇文章各自的词频向量；
（4）计算两个向量的余弦相似度，值越大就表示越相似。

"余弦相似度"是一种非常有用的算法，只要是计算两个向量的相似程度，都可以采用它。